\chapter{Serie di Laurent}
Serie numeriche bilatere. Serie di Laurent. Insieme di convergenza di una serie di Laurent.
Univocità dei coefficienti nello sviluppo in serie di Laurent. Sviluppabilità in serie di Laurent di una funzione olomorfa su una corona circolare. Singolarità isolate. Classificazione delle singolarità isolate. Caratterizzazione di singolarità eliminabili, poli e singolarità essenziali.
Teorema di Picard (nodim).
Residuo in un punto singolare. I Teorema dei residui. Metodi per il calcolo del residuo in un punto singolare. Singolarità all'infinito e residuo all'infinito. II Teorema dei residui.
Calcolo di alcuni integrali attraverso il metodo dei residui: integrali trigonometrici, integrali impropri sulla retta reale di funzioni aventi al più un numero finito di discontinuità, integrali di tipo Fourier, lemma di Jordan (nodim).

\section{Serie numeriche bilatere.}
\index{Serie numerica!bilatera}
Si considera una funzione che associa ai $k\in\Z$ i valori complessi $\{a_k\}_{k\in\Z}$, $a_k\in\C$, e le successioni numeriche delle somme parziali associate \[s_n=\sum_{k=0}^{n}a_k=a_0+a_1+\dots+a_n \\\qquad s^-_n=\sum_{k=1}^{n}a_{-k}=a_{-1}+a_{-2}+\dots+a_{-n}\]
\begin{definizione}
Si definisce \textsc{serie numerica bilatera} la terna \[\{a_k\}_{k\in\Z}, \\ \{s_n\}_{n\in\N},\\ \{s^-_n\}_{n\in\N}\] e si indica con il simbolo \[\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_k\]
\end{definizione}

\begin{definizione}
La serie bilatera è \textsc{convergente} se convergono entrambe le successioni associate $\{s_n\}$ e $\{s^-_n\}$ e si chiama \textsc{somma della serie} $s_n+s^-_n$.
\end{definizione}

\section{Serie di Laurent}
\index{Serie numerica!di Laurent}
\begin{definizione}
Si definisce \textsc{serie di Laurent} una serie di potenze di centro $z_0$ bilatera la terna costituita dalla funzione razionale con singolarità in $z_0\in\C$ e dalle successioni delle somme parziali 
\[ \{a_k(z-z_0)^k\}_{k\in\Z} \\ s_n = \sum_{k=0}^{n}{a_k(z-z_0)^k} \\ s^-_n = \sum_{k=1}^{n}{a_{-k}(z-z_0)^{-k}}\] e si indica con il simbolo
\[\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{a_k (z-z_0)^k}\]
\end{definizione}

\begin{osservazione}
Si può estendere la \textsc{II formula di rappresentazione di Cauchy} alle derivate negative per $k\in\Z$
\[ a_k=\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!} = \frac{1}{2\pi\imath}{ \int_{\partial^+T}\frac{f(w)}{(w-z_0)^{k+1}}\diff{w}}  \]
\end{osservazione}

\section{Insieme di convergenza di una serie di Laurent.}
Data la serie di Laurent \[\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{a_k (z-z_0)^k}\]
si hanno le due successioni delle somme parziali
\[ \sum_{k=0}^{n}{a_k(z-z_0)^k} \]
con raggio di convergenza $R_1\in[0,+\infty]$ e insieme di convergenza $\abs{z-z_0}<R_1$ e la successione delle somme parziali ad indici negativi
\[ \sum_{k=1}^{n}{a_{-k}(z-z_0)^{-k}} \quad \text{raggio di convergenza }R_2\in[0,+\infty] \] 
che converge nell'insieme $\abs{\frac{1}{z-z_0}}<R_2 \Leftrightarrow \abs{z-z_0}>R_2 $ 

I due insiemi di convergenza possono essere disgiunti risultando un insieme di convergenza vuoto se $\frac{1}{R_2}>R_1$.

Se $R_1\in\left[0,\infty\right)$

\section{Univocità dei coefficienti nello sviluppo in serie di Laurent.}

\section{Sviluppabilità in serie di Laurent di una funzione olomorfa su una corona circolare.}

\section{Singolarità isolate.}

\section{Classificazione delle singolarità isolate.}

\section{Caratterizzazione di singolarità eliminabili, poli e singolarità essenziali.}

\section{Teorema di Picard (nodim).}

\section{Residuo in un punto singolare.}

\section{I Teorema dei residui.}
\begin{teorema}[Primo Teorema dei Residui]\index{Teorema!dei residui (Primo)}

Sia $f$ definita sul piano complesso, o equivalentemente su un insieme finito, a meno di un insieme finito di punti $f\in\holomorph{\C\setminus\{z_1,\dots,z_n\}}$  o $f\in\holomorph{\Omega\setminus\{z_1,\dots,z_n\}}$ con $\Omega\subset\C$, dominio.

Sia $\gamma$ una curva bordo di un aperto $T\subset\Omega$ tale che i punti $\{z_j\}_{j\in\{1\dots n\}}\subset T$ 

\begin{figure}[!ht]
\begin{tikzpicture}
\draw [-stealth, ultra thick](-0.4,1.7)--(-0.5,1.7);
\draw circle (2);
\node at (1.9,1.9) {$\Omega$};
\node at (-0.15,1.7) {$\gamma$};
\draw plot [variable=\t, domain=0:360, samples=50]
({1.6*cos(\t)-0.1*sin(4*\t)}, {1.6*sin(\t)+0.2*sin(4*\t)});
\fill [pattern=north east lines] plot [variable=\t, domain=0:360, samples=50]
({1.6*cos(\t)-0.1*sin(4*\t)}, {1.6*sin(\t)+0.2*sin(4*\t)});
\fill [white] (-1,0) circle (0.35);
\fill (-1,0) circle (0.05);
\fill [white] (-.6,0.8) circle (0.35);
\node at (-1,0.2) {$z_1$};
\fill [white] (-.6,0.8) circle (0.35);
\fill (-.6,0.8) circle (0.05);
\node at (-.6,1) {$z_2$};
\fill [white] (-.5,-0.7) circle (0.35);
\fill (-.5,-0.7) circle (0.05);
\fill [white] (+.3,0.2) circle (0.35);
\fill (+.3,0.2) circle (0.05);
\fill [white] (.25,0.8) circle (0.35);
\fill (.25,0.8) circle (0.05);
\fill [white] (.55,-0.7) circle (0.35);
\fill (.55,-0.7) circle (0.05);
\fill [white] (1,-0.2) circle (0.35);
\fill (1,-0.2) circle (0.05);
\node at (1,0.0) {$z_n$};
\end{tikzpicture}
\end{figure}

Tesi:
\[\int_{\gamma}f(z)\diff{z} = 2\pi\imath\sum_{j=1}^{n}\res{f}{z_j} \]
 
\begin{proof}
Considero \[T^{'}=T\setminus \bigcup_{j=1}^{m}\disk{z_j,r_j}\]
Scelgo i raggi $r_j$ abbastanza piccoli tali che 
\[\forall j\in\{1,\dots ,m\}\quad r_j \tc\disk{z_j,r_j}\subset T \]
Sappiamo per il teorema di Cauchy-Goursat (Teo. \ref{teo:cauchy-goursat})
\[0=\int_{\partial^+T}{f(z)\diff{z}}=\int_{\gamma}{f(z)\diff{z}}-\sum_{j=1}^{m}\left(\int_{C^+(z_j,r_j)}f(w)\diff{w}\right)\]
\[\Rightarrow \int_{\gamma}{f(z)\diff{z}}=2\pi\imath\sum_{j=1}^{m}\res{f}{z_j}\]
\end{proof}
\end{teorema}

\section{Metodi per il calcolo del residuo in un punto singolare.} 

\section{Singolarità all'infinito e residuo all'infinito.}

\section{II Teorema dei residui.}\label{teo:residui2}

\section{Calcolo di alcuni integrali attraverso il metodo dei residui: integrali trigonometrici, integrali impropri sulla retta reale di funzioni aventi al più un numero finito di discontinuità, integrali di tipo Fourier, lemma di Jordan (nodim).}

Calcolare il residuo in tutti i punti singolari al finito e all'infinito:
\[\Deriv[2](z^3f(z))=\Deriv[2]\left(\frac{1-z^2}{(z+1)^2}\right)\]
al finito ho singolarità in $0$ e $-1$
\[ \res{f}{0}=\lim_{z\to 0}\left(\frac{1}{2!} \Deriv[2]\left(\frac{1-z^2}{(z+1)^2}\right)\right) \]
\[\lim_{z\to 0}z^3\frac{1-z^2}{(z+1)^2z^3}=1\neq 0\]